INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

 Nama : Khirqa Adavya (19)

Kelas : XI IPS 3

Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya dari Integrasi Tertentu

Soal Nomor 1
Nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-6$                    D. $6$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x& ={[\frac{1}{3}{x}^3-3x]}_{-1}^2\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3-3\left(2\right))-\left(\frac{1}{3}\right(-1{)}^3-3(-1))\\ & =(\frac{8}{3}-6)-(-\frac{1}{3}+3)\\ & =\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-6-3\\ & =\frac{9}{3}-9=-6\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x=-6$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari ${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{332}{105}$                   D. $\frac{372}{105}$
B. $\frac{342}{105}$                   E. $\frac{392}{105}$
C. $\frac{352}{105}$

Pembahasan

Jabarkan terlebih dahulu bentuk $(-x^3+2x-1{)}^2$ menggunakan $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, yang dalam hal ini $a=-x^3$ dan $b=2x-1$.
$\begin{array}{cc}& (-x^3+2x-1{)}^2\\ & =(-x^3{)}^2+2(-x^3\left)\right(2x-1)+(2x-1{)}^2\\ & =x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1\end{array}$
Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x& ={\int }_{-1}^1(x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1)\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{7}{x}^7-\frac{4}{5}{x}^5+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+x]}_{-1}^1\\ & =\left(\frac{1}{7}\right(1{)}^7-\frac{4}{5}(1{)}^5+\frac{1}{2}(1{)}^2+\frac{4}{3}(1{)}^3-2(1{)}^2+\left(1\right))-\left(\frac{1}{7}\right(-1{)}^7-\frac{4}{5}(-1{)}^5+\frac{1}{2}(-1{)}^2+\frac{4}{3}(-1{)}^3-2(-1{)}^2+(-1))\\ & =(\frac{1}{7}-\frac{4}{5}+\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-2+1)-(-\frac{1}{7}+\frac{4}{5}+\frac{1}{2}-\frac{4}{3}-2-1)\\ & =\frac{2}{7}-\frac{8}{5}+0+\frac{8}{3}+0+2\\ & =\frac{30}{105}-\frac{168}{105}+\frac{280}{105}+\frac{210}{105}\\ & =\frac{352}{105}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x=\frac{352}{105}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Jumlah Riemann

Soal Nomor 3
Nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdots$
A. $75\frac{1}{2}$                      D. $78\frac{1}{2}$
B. $76\frac{1}{2}$                      E. $80$
C. $78\frac{1}{4}$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x& ={\int }_1^4(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2})\text{d}x\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-\frac{6}{3/2}{x}^{3/2}+\frac{2}{-1}{x}^{-1}]}_1^4\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-4x^{3/2}-\frac{2}{x}]}_1^4\\ & =\left(\frac{5}{3}\right(4{)}^3-4(4{)}^{3/2}-\frac{2}{4})-\left(\frac{5}{3}\right(1{)}^3-4(1{)}^{3/2}-\frac{2}{1})\\ & =(\frac{320}{3}-32-\frac{1}{2})-(\frac{5}{3}-4-2)\\ & =\frac{315}{3}-26-\frac{1}{2}\\ & =105-26-\frac{1}{2}\\ & =78\frac{1}{2}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x=78\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$, maka nilai ${\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $6$                   C. $0$                    E. $-6$
B. $3$                   D. $-1$

Pembahasan

Diketahui ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$.
Misalkan $u=5-x$, sehingga $\text{d}u=(-1)\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x=-\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u=5-x=5-4=1$.
Batas bawahnya menjadi
$u=5-x=5-1=4$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x& ={\int }_4^{1}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ \text{Balikkan batas}& \text{integralnya}\\ & =-{\int }_1^{4}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ & ={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u=6\end{array}$
Ingat bahwa:
${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u$
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $a$ yang memenuhi ${\int }_1^a(2x+3)\text{d}x=6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $3$                  E. $10$
B. $2$                       D. $5$

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_1^a(2x+3)\text{d}x& =6\\ {[x^2+3x]}_1^a& =6\\ (a^2+3a)-\left(\right(1{)}^2+3\left(1\right))& =6\\ a^2+3a-10& =0\\ (a+5)(a-2)& =0\end{array}$
Diperoleh nilai $a=-5$ atau $a=2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a=2$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai $p$ yang memenuhi ${\int }_0^4(3x^2+px-3)\text{d}x=68$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                  E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan hasil integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_0^4(3x^2+px-3)\text{d}x& =68\\ {[x^3+\frac{p}{2}{x}^2-3x]}_0^4& =68\\ (4^3+\frac{p}{2}\cdot {4^2}^8-3(4\left)\right)-0& =68\\ 64+8p-12& =68\\ 52+8p& =68\\ 8p& =16\\ p& =2\end{array}$
Jadi, nilai $p=2$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Hasil dari ${\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{8}{3}$                     C. $\frac{14}{3}$                  E. $\frac{43}{3}$
B. $\frac{11}{3}$                   D. $\frac{17}{3}$

Pembahasan

Ubah bentuk integrannya terlebih dahulu.
$\begin{array}{cc}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}& =\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{x}{2\sqrt{x}}\\ & =x^{-1/2}+\frac{1}{2}{x}^{1/2}\end{array}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x& ={\int }_9^{16}(x^{-1/2}+\frac{1}{2}{x}^{1/2})\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{1+(-1/2)}{x}^{-1/2+1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+1/2}{x}^{1/2+1}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & ={[2x^{1/2}+\frac{1}{3}{x}^{3/2}]}_9^{16}\\ & =\left(2\right(16{)}^{1/2}+\frac{1}{3}\left(16{)}^{3/2}\right)-\left(2\right(9{)}^{1/2}+\frac{1}{3}\left(9{)}^{3/2}\right)\\ & =2\left(4\right)+\frac{1}{3}\left(64\right)-2\left(3\right)-\frac{1}{3}\left(27\right)\\ & =8+\frac{64}{3}-6-9\\ & =-7+\frac{64}{3}=\frac{43}{3}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_9^{16}\frac{2+x}{2\sqrt{x}}\text{d}x=\frac{43}{3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Luas Daerah Menggunakan Integral

Soal Nomor 8
Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi kontinu, dan $f\left(x\right)\ge 0$, untuk semua bilangan real $x$, manakah dari pernyataan berikut ini yang benar?
$$\begin{array}{cc}& \text{I.}{\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x=\left({\int }_a^{b}f\right(x\left)\text{d}x\right)\left({\int }_a^{b}g\right(x\left)\text{d}x\right)\\ & \text{II.}{\int }_a^b\left(f\right(x)+g(x\left)\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x\\ & \text{III.}{\int }_a^b\sqrt{f\left(x\right)}\text{d}x=\sqrt{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}\end{array}$$A. I saja
B. II saja
C. III saja
D. II dan III
E. I, II, dan III

Pembahasan

Periksa pernyataan I:
Kelinearan dalam integral tidak berlaku untuk perkalian dua atau lebih fungsi. Dengan kata lain,
$${\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x\ne \left({\int }_a^{b}f\right(x\left)\text{d}x\right)\left({\int }_a^{b}g\right(x\left)\text{d}x\right)$$Periksa pernyataan II:
Pernyataan ini benar. Sifat ini dikenal sebagai kelinearan dalam integral (berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan fungsi-fungsi).
Periksa pernyataan III:
Notasi akar dari fungsi (integran) tidak boleh ditarik keluar (kita seolah-olah mencari nilai dari integral tentu fungsi tersebut (tanpa notasi akar), lalu mengakarkan nilainya). Dengan kata lain,
${\int }_a^b\sqrt{f\left(x\right)}\text{d}x\ne \sqrt{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}$
Jadi, hanya pernyataan II yang bernilai benar.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ dapat diintegralkan dalam selang $a\le x\le b$ dan $g\left(a\right)\ne 0$ maka $\cdots \cdot$
(1) ${\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(a\right)\text{d}x=g\left(a\right){\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x$
(2) ${\int }_a^b\left[f\right(a)+g(x\left)\right]\text{d}x$
(3) $\frac{{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}{g\left(a\right)}={\int }_a^b\frac{f\left(x\right)}{g\left(a\right)}\text{d}x$
(4) ${\int }_a^b\left[f\right(x)-g(x\left)\right]\text{d}x$
Pernyataan yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $\left(1\right),\left(2\right)$, dan $\left(3\right)$
B. $\left(1\right)$ dan $\left(3\right)$
C. $\left(2\right)$ dan $\left(4\right)$
D. $\left(4\right)$ saja
E. $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$, dan $\left(4\right)$

Pembahasan

Cek pernyataan 1:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g\left(a\right)$ yang bahwasanya adalah sebuah konstanta, dapat keluar dari posisinya sebagai integran.
Jadi, pernyataan 1 benar.
Cek pernyataan 2:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, integral dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah dari integral masing-masing fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menganggap $f\left(a\right)$ sebagai fungsi konstan.
Jadi, pernyataan 2 benar.
Cek pernyataan 3:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g\left(a\right)$ yang bahwasanya merupakan suatu konstanta, dapat keluar masuk dari notasi integral tanpa memengaruhi hasilnya.
Jadi, pernyataan 3 benar.
Cek pernyataan 4:
Pernyataan 4 bernilai benar. Pernyataan 4 merupakan salah satu sifat dari kelinearan integral.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $f\left(x\right)=ax+b$, ${\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x=1$ dan ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=5$, maka nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $5$                      C. $3$                    E. $-4$
B. $4$                      D. $-3$

Pembahasan

Karena ${\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x=1$, maka diperoleh
$$\begin{array}{cccc}{\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x& =1& & \\ {\int }_0^1(ax+b)\text{d}x& =1& & \\ {[\frac{1}{2}a{x}^2+bx]}_0^1& =1& & \\ \frac{1}{2}a(1{)}^2+b(1)-0& =1& & \\ \frac{1}{2}a+b& =1& & (\cdots 1)\end{array}$$Karena ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=5$, maka diperoleh
$$\begin{array}{cccc}{\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =5& & \\ {\int }_1^2(ax+b)\text{d}x& =5& & \\ {[\frac{1}{2}a{x}^2+bx]}_1^2& =5& & \\ \frac{1}{2}a(2{)}^2+b(2)-\frac{1}{2}a(1{)}^2-b\left(1\right)& =5& & \\ \frac{3}{2}a+b& =5& & (\cdots 2)\end{array}$$Dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ (membentuk SPLDV), kita peroleh nilai $a=4$ dan $b=-1$. Jadi, nilai $a+b=4+(-1)=3$
(Jawaban C)

Soal Nomor 11
Jika nilai ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x=3$ dan ${\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x=-6$, maka nilai ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-8$                     C. $4$                    E. $8$
B. $-6$                     D. $6$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x& =-6\\ \Rightarrow {\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x& =-2\end{array}$
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}& {\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x\\ & =2{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x-{\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x\\ & =2\left(3\right)-(-2)=6+2=8\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=8$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika ${\int }_{-5}^{2}f\left(x\right)\text{d}x=-17$ dan ${\int }_5^{2}f\left(x\right)\text{d}x=-4$, maka nilai dari ${\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-21$                  C. $0$                    E. $21$
B. $-13$                  D. $13$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\int }_{-5}^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =-17\\ {\int }_5^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =-4\end{array}$
Karena ${\int }_5^{2}f\left(x\right)\text{d}x=-4$, maka dengan membalikkan batas integralnya dan menambahkan tanda negatif di depan, diperoleh ${\int }_2^{5}f\left(x\right)\text{d}x=4$.
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_{-5}^{2}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_2^{5}f\left(x\right)\text{d}x\\ & =-17+4=-13\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)\text{d}x=-13$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui fungsi $f\left(x\right)$ memenuhi sifat $f(-x)=-f\left(x\right)$. Jika ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\text{d}x=4$, maka nilai dari ${\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-8$                   C. $-4$                   E. $6$
B. $-6$                   D. $4$

Pembahasan

Fungsi $f$ disebut fungsi ganjil karena memenuhi $f(-x)=-f\left(x\right)$.
Untuk itu, dalam integral berlaku
${\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)\text{d}x=0$
untuk $a$ bilangan real.
Diketahui ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\text{d}x=4$. Dari sini, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\text{d}x& =4\\ {\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x+0& =4\\ {\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x& =4\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=4$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika nilai ${\int }_b^{a}f\left(x\right)\text{d}x=5$ dan ${\int }_c^{a}f\left(x\right)\text{d}x=0$, maka ${\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $10$                  C. $0$                    E. $-10$
B. $5$                    D. $-5$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}1){\int }_b^{a}f\left(x\right)\text{d}x& =5\\ ⟹{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x& =-5\\ 2\left){\int }_c^{a}f\right(x)\text{d}x& =0\end{array}$
Berdasarkan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_c^{a}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x\\ & =0+(-5)=-5\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x=-5$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $f\left(x\right)=f(-x)$ untuk semua nilai $x$, ${\int }_{-3}^{3}f\left(x\right)\text{d}x=6$, dan ${\int }_2^{3}f\left(x\right)\text{d}x=1$, maka nilai dari ${\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $5$                     E. $12$
B. $2$                      D. $11$

Pembahasan

Fungsi $f$ disebut fungsi genap karena berlaku $f\left(x\right)=f(-x)$.
Karena itu, maka berlaku
$\begin{array}{cc}{\int }_{-3}^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =6\\ 22{\int }_0^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =6\\ {\int }_0^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\end{array}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_0^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_2^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x+1& =3\\ {\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =2\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x=2$
(Jawaban B)

[collapse]

Fungsi Genap dan Ganjil

Fungsi $f\left(x\right)$ disebut fungsi genap apabila berlaku $f\left(x\right)=f(-x)$ dan disebut fungsi ganjil apabila berlaku $f\left(x\right)=-f\left(x\right)$. Contoh fungsi genap adalah $f\left(x\right)=x^2$ dan $f\left(x\right)=\cos x$, sedangkan contoh fungsi ganjil adalah $f\left(x\right)=x^3$ dan $f\left(x\right)=\sin x$. Ada juga fungsi yang tidak tergolong fungsi genap maupun ganjil, misalnya $f\left(x\right)=x+4$. Selengkapnya, bisa dibaca pada postingan yang disematkan pada tautan di bawah.

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Soal Nomor 16
Diketahui ${\int }_1^{10}f\left(x\right)\text{d}x=12$ dan ${\int }_{-4}^{-2}f\left(x\right)\text{d}x=-10$. Jika $f(x+3)=f\left(x\right)$, maka nilai dari ${\int }_{16}^{5}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-10$                   C. $2$                   E. $12$
B. $-2$                     D. $10$

Pembahasan

Karena berlaku $f(x+3)=f\left(x\right)$, maka setiap penambahan/pengurangan kelipatan $3$ terhadap batas integral tidak mengubah nilai/hasil perhitungan ntegral tentunya. Untuk itu, berlaku
$\begin{array}{cc}{\int }_1^{10}f\left(x\right)\text{d}x& =12\\ {\int }_{1+6}^{10+6}f\left(x\right)\text{d}x& =12\\ {\int }_7^{16}f\left(x\right)\text{d}x& =12\end{array}$
dan
$\begin{array}{cc}{\int }_{-4}^{-2}f\left(x\right)\text{d}x& =-10\\ {\int }_{-4+9}^{-2+9}f\left(x\right)\text{d}x& =-10\\ {\int }_5^{7}f\left(x\right)\text{d}x& =-10\end{array}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat penukaran batas integral beserta kekontinuan batas integral, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{16}^{5}f\left(x\right)\text{d}x& =-{\int }_5^{16}f\left(x\right)\text{d}x\\ & =-\left({\int }_5^{7}f\right(x)\text{d}x+{\int }_7^{16}f(x\left)\text{d}x\right)\\ & =-\left(\right(-10)+12)=-2\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{16}^{5}f\left(x\right)\text{d}x=-2$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui ${\int }_1^{5}f\left(x\right)\text{d}x=3$ dan ${\int }_{-5}^{-4}f\left(x\right)\text{d}x=2$. Jika $f(x-5)=f\left(x\right)$, maka nilai dari ${\int }_5^{15}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $5$                  E. $15$
B. $2$                    D. $10$

Pembahasan

Karena berlaku $f(x-5)=f\left(x\right)$, maka setiap penambahan/pengurangan kelipatan $5$ terhadap batas integral tidak mengubah nilai/hasil perhitungan integral tentunya. Untuk itu, berlaku
$\begin{array}{cc}{\int }_1^{5}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_{1+5}^{5+5}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_6^{10}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_{6+5}^{10+5}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_{11}^{15}f\left(x\right)\text{d}x& =3\end{array}$
dan
$\begin{array}{cc}{\int }_{-5}^{-4}f\left(x\right)\text{d}x& =2\\ {\int }_{-5+10}^{-4+10}f\left(x\right)\text{d}x& =2\\ {\int }_5^{6}f\left(x\right)\text{d}x& =2\\ {\int }_{5+5}^{6+5}f\left(x\right)\text{d}x& =2\\ {\int }_{10}^{11}f\left(x\right)\text{d}x& =2\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_5^{15}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_5^{6}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_6^{10}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_{10}^{11}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_{11}^{15}f\left(x\right)\text{d}x\\ & =2+3+2+3=10\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_5^{15}f\left(x\right)\text{d}x=10$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui $f(-x)=f\left(x\right)-3$. Jika ${\int }_1^{5}f\left(x\right)\text{d}x=2$ dan ${\int }_3^{5}f\left(x\right)\text{d}x=-3$, maka nilai dari ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-3$                  C. $0$                 E. $5$
B. $-1$                  D. $3$

Pembahasan

Misalkan $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$. Ini berarti,
$\begin{array}{cc}\int f(-x)\text{d}x& =\int \left(f\right(x)-3)\text{d}x\\ & =F\left(x\right)-3x+C\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{array}{cccc}{\int }_1^{5}f\left(x\right)\text{d}x& =2& & \\ ⟹F\left(5\right)-F\left(1\right)& =2& & (\cdots 1)\end{array}$
dan
$\begin{array}{cccc}{\int }_3^{5}f\left(x\right)\text{d}x& =-3& & \\ ⟹F\left(5\right)-F\left(3\right)& =-3& & (\cdots 2)\end{array}$
Eliminasi $F\left(5\right)$ dari kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $F\left(3\right)-F\left(1\right)=5$
Selanjutnya,
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_3^{1}f(-x)(-\text{d}x)\\ & ={\int }_1^{3}f(-x)\text{d}x\\ & ={\left[F\right(x)-3x]}_1^3\\ & =\left(F\right(3)-F(1\left)\right)-3(3-1)\\ & =5-3\left(2\right)=-1\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=-1$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=\sqrt{2}$, maka nilai dari ${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}f\left(\sqrt{x}\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $\frac{1}{4}\sqrt{2}$                  C. $\sqrt{3}$                E. $4\sqrt{2}$
B. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$                  D. $2\sqrt{2}$

Pembahasan

Diketahui ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x=\sqrt{2}$.
Misalkan $u=\sqrt{x}=x^{1/2}$ sehingga $\text{d}u=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Substitusikan pada ${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}f\left(\sqrt{x}\right)\text{d}x$ dengan perubahan:
$\begin{array}{cc}\text{Batas atas}& =u=\sqrt{4}=2\\ \text{Batas bawah}& =u=\sqrt{1}=1\end{array}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{array}{cc}{\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}f\left(\sqrt{x}\right)\text{d}x& =2{\int }_1^4\frac{1}{2\sqrt{x}}f\left(\sqrt{x}\right)\text{d}x\\ & =2{\int }_1^{2}f\left(u\right)\text{d}u\\ & =2\sqrt{2}\end{array}$
Catatan: Perhatikan bahwa ${\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_1^{2}f\left(u\right)\text{d}u=\sqrt{2}$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika ${\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)(x^3+1)\text{d}x=4$ dengan $f\left(x\right)$ fungsi genap dan ${\int }_0^{1}f\left(x\right)\text{d}x=3$, maka nilai dari ${\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $0$                  E. $5$
B. $-1$                   D. $1$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{array}{cc}{\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)(x^3+1)\text{d}x& =4\\ {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\cdot x^3\text{d}x+{\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =4\end{array}$
Karena $f\left(x\right)$ fungsi genap, sedangkan $g\left(x\right)=x^3$ merupakan fungsi ganjil, maka hasil kalinya adalah fungsi ganjil, sehingga ${\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\cdot x^3\text{d}x=0$. Artinya,
$\begin{array}{cc}{\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)(x^3+1)\text{d}x& =4\\ {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =4\\ 2{\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =4\\ {\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =2\end{array}$
Selanjutnya,
$$\begin{array}{cc}{\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_1^{2}f\left(x\right)\text{d}x\\ 2& =3+{\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x\\ -1& ={\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=-1$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $f\left(x\right)=\int x\text{d}x+{\int }_0^{1}x\text{d}x+{\int }_1^{2}x\text{d}x$ dan $f\left(2\right)=4$, maka nilai $f\left(0\right)=\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $3$                    E. $5$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Integralkan terlebih dahulu, lalu kita substitusikan $x=2$ untuk mencari nilai konstanta integral tak tentu $C$.
$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\int x\text{d}x+{\int }_0^{1}x\text{d}x+{\int }_1^{2}x\text{d}x\\ & =(\frac{1}{2}{x}^2+C)+{\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1+{\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_1^2\\ & =\frac{1}{2}{x}^2+C+\frac{1}{2}(1^2-0^2)+\frac{1}{2}(2^2-1^2)\\ & =\frac{1}{2}{x}^2+C+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(3\right)\\ & =\frac{1}{2}{x}^2+C+2\\ f\left(2\right)& =\frac{1}{2}(2{)}^2+C+2\\ 4& =2+C+2\\ C& =0\end{array}$$Dengan demikian, $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+2$, sehingga
$f\left(0\right)=\frac{1}{2}(0{)}^2+2=2$
(Jawaban B)

[collapse]

 

Soal Nomor 22
Diketahui $f\left(x\right)=4x^3+3x^2+2x+{\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x$, maka nilai dari ${\int }_0^2\left(f^{\prime \prime }\right(x)+f(2\left)\right)\text{d}x$ $=\cdots \cdot$
A. $92$                    C. $96$                    E. $100$
B. $94$                    D. $98$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=4x^3+3x^2+2x+{\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x$. Perhatikan bahwa ekspresi ${\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x$ merupakan suatu konstanta, kita notasikan saja dengan $C$.
Dengan demikian, diperoleh turunan pertama $f\left(x\right)$, yakni
$f^{\prime }\left(x\right)=12x^2+6x+2$,
dan turunan keduanya adalah
$f^{\prime \prime }=24x+6$.
Selanjutnya,
$$\begin{array}{cc}{\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_0^2(4x^3+3x^2+2x+C)\text{d}x\\ C& ={[x^4+x^3+x^2+Cx]}_0^2\\ C& =\left(\right(2{)}^4+(2{)}^3+(2{)}^2+C\left(2\right))-0\\ C& =16+8+4+2C\\ C& =-28\end{array}$$Ini berarti, $f\left(x\right)=4x^3+3x^2+2x-28$, sehingga $f\left(2\right)=4(2{)}^3+3(2{)}^2+2\left(2\right)-28=20$.
Oleh karena itu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}& {\int }_0^2\left(f^{\prime \prime }\right(x)+f(2\left)\right)\text{d}x\\ & ={\int }_0^2(24x+6+20)\text{d}x\\ & ={\int }_0^2(24x+26)\text{d}x\\ & ={[12x^2+26x]}_0^2\\ & =\left(12\right(2{)}^2+26\left(2\right))-0\\ & =48+52=100\end{array}$
Jadi, nilai dari integral tersebut adalah $100$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui fungsi $f\left(x\right)=x^3+3x^2-5x+$ ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\text{d}x$. Nilai $f\left(1\right)=\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $-1$                    E. $4$
B. $-2$                     D. $3$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)$ adalah fungsi kubik dengan konstanta ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\text{d}x=C$.
Dari sini, kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_{-1}^1(x^3+3x^2-5x+{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\text{d}x)\text{d}x\\ C& ={\int }_{-1}^1(x^3+3x^2-5x+C)\text{d}x\\ C& ={[\frac{1}{4}{x}^4+x^3-\frac{5}{2}{x}^2+Cx]}_{-1}^1\\ C& =\left(\frac{1}{4}\right(1{)}^4+(1{)}^3-\frac{5}{2}(1{)}^2+C\left(1\right))-\left(\frac{1}{4}\right(-1{)}^4+(-1{)}^3-\frac{5}{2}(-1{)}^2+C(-1))\\ C& =(\frac{1}{4}+1-\frac{5}{2}+C)-(\frac{1}{4}-1-\frac{5}{2}-C)\\ C& =C+(1+1)+C\\ C& =-2\end{array}$$Kita peroleh bahwa $f\left(x\right)=x^3+3x^2-5x-2$.
Untuk itu, jika $x=1$, didapat
$\begin{array}{cc}f\left(1\right)& =(1{)}^3+3(1{)}^2-5\left(1\right)-2\\ & =1+3-5-2=-3\end{array}$
Jadi, nilai dari $f\left(1\right)=-3$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Integral Parsial

 Soal Nomor 24
Jika diketahui $g\left(x\right)=\left({\int }_0^{2}g\left(x\right)\text{d}x\right)x^2+$ $\left({\int }_0^{1}g\left(x\right)\text{d}x\right)x+\left({\int }_0^{3}g\right(x\left)\text{d}x\right)+2$, maka nilai $g\left(5\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A $-\frac{274}{39}$                        D. $-\frac{254}{13}$
B. $-\frac{274}{13}$                       E. $\frac{274}{39}$
C. $-\frac{254}{39}$

Pembahasan

Diketahui $g\left(x\right)$ merupakan fungsi kuadrat. Misal $g\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, maka diperoleh integralnya terhadap $x$, yakni $G\left(x\right)=\frac{1}{3}a{x}^3+\frac{1}{2}b{x}^2+cx+D$ untuk suatu konstanta real $D$.
Dari sini, kita juga peroleh bahwa
$$\begin{array}{cccc}a& ={\int }_0^{2}g\left(x\right)\text{d}x& & \\ & =G\left(2\right)-G\left(0\right)& & \\ & =\frac{1}{3}a(2{)}^3+\frac{1}{2}b(2{)}^2+c\left(2\right)-0& & \\ & =\frac{8}{3}a+2b+2c& & (\cdots 1)\\ b& ={\int }_0^{1}g\left(x\right)\text{d}x& & \\ & =G\left(1\right)-G\left(0\right)& & \\ & =\frac{1}{3}a(1{)}^3+\frac{1}{2}b(1{)}^2+c\left(1\right)-0& & \\ & =\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b+c& & (\cdots 2)\\ c& ={\int }_0^{3}g\left(x\right)\text{d}x+2& & \\ & =G\left(3\right)-G\left(0\right)+2& & \\ & =\frac{1}{3}a(3{)}^3+\frac{1}{2}b(3{)}^2+c\left(3\right)-0+2& & \\ & =9a+\frac{9}{2}b+3c+2& & (\cdots 3)\end{array}$$Persamaan $\left(1\right)$, $\left(2\right)$, dan $\left(3\right)$ masing-masing dapat disederhanakan sehingga diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\{\begin{array}{cccc}5a+6b+6c& =0& & (\cdots 1)\\ 2a-3b+6c& =0& & (\cdots 2)\\ 18a+9b+4c& =-4& & (\cdots 3)\end{array}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ untuk memperoleh
$\begin{array}{}3a+9b=0\Rightarrow a+3b=0& \text{(4)}\end{array}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $\left(2\right)$ dan $\left(3\right)$ untuk memperoleh
$\begin{array}{cccc}-100a-66b& =24& & \\ \Rightarrow 50a+33b& =-12& & (\cdots 5)\end{array}$
Dari persamaan $\left(4\right)$ dan $\left(5\right)$, diperoleh $a=-\frac{4}{13}$ dan $b=\frac{4}{39}$, sehingga $c=\frac{2}{13}$.
Jadi, $g\left(x\right)=-\frac{4}{13}{x}^2+\frac{4}{39}x+\frac{2}{13}$, berarti
$\begin{array}{cc}g\left(5\right)& =-\frac{100}{13}+\frac{20}{39}+\frac{2}{13}\\ & =\frac{-300+20+6}{39}=-\frac{274}{39}\end{array}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Nilai $y$ yang memenuhi persamaan ${\int }_0^{\sqrt{{}^2\log (5y+1)}}3x\sqrt{-2x^2+9}\text{d}x=13$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $3$                    E. $5$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Tanpa batas integral, kita akan mencari hasil dari $\int 3x\sqrt{-2x^2+9}\text{d}x$ terlebih dahulu.
Misalkan $u=-2x^2+9$, maka
$\begin{array}{cc}\text{d}u& =-4x\text{d}x\\ -\frac{1}{4}\text{d}u& =x\text{d}x\end{array}$
Dengan demikian, didapat
$$\begin{array}{cc}\int 3x\sqrt{-2x^2+9}\text{d}x& =\int 3\cdot (-\frac{1}{4})\cdot u^{1/2}\text{d}u\\ & =-\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot u^{3/2}+C\\ & =-\frac{1}{2}{u}^{3/2}+C\end{array}$$Batas integrasi berubah untuk variabel $u$. Karena $u=-2x^2+9$, maka
$\begin{array}{cc}{u}_{\text{atas}}& =-2{\left(\sqrt{{}^2\log (5y+1)}\right)}^2+9\\ & =-2{(}^2\log (5y+1))+9\\ u_{\text{bawah}}& =-2(0{)}^2+9=9\end{array}$
Dengan demikian,
$$\begin{array}{cc}{\int }_0^{\sqrt{{}^2\log (5y+1)}}3x\sqrt{-2x^2+9}\text{d}x& =13\\ {[-\frac{1}{2}{u}^{3/2}]}_9^{-2\left({}^2\log \right(5y+1\left)\right)+9}& =13\\ {\left[u^{3/2}\right]}_9^{-2\left({}^2\log \right(5y+1\left)\right)+9}& =-26\\ {(-2\left({}^2\log \right(5y+1\left)\right)+9)}^{3/2}-9^{3/2}& =-26\\ {(-2\left({}^2\log \right(5y+1\left)\right)+9)}^{3/2}-27& =-26\\ {(-2\left({}^2\log \right(5y+1\left)\right)+9)}^{3/2}& =1\\ \text{Kedua ruas dipangkatkan}& \frac{2}{3}\\ -2\left({}^2\log \right(5y+1\left)\right)+9& =1\\ -2\left({}^2\log \right(5y+1\left)\right)& =-8\\ {}^2\log (5y+1)& =4\\ 5y+1& =2^4=16\\ 5y& =15\\ y& =3\end{array}$$Jadi, nilai dari $y$ adalah $3$

(Jawaban C)