SOAL TRIGONOMETRI DAN REMEDIAL PAT

KHIRQA ADAVYA (19)
X IPS 3   

TUGAS MTK DAN REMEDIAL PAT
 (LETAK REMEDIAL ADA DI BAWAH TUGAS DITANDAI DENGAN JUDUL)

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian

A.Radian ke Derajat

1 radian= 180°/π

Contoh:

Contoh Soal 1

Soal: Berapa derajatkah sudut 3,5 radian?

Jawab:

3,5 radian = 3,5 x(180°/π) = 200,535°

Contoh soal 2

Soal: Hitunglah sudut 2,2 radian dalam derajat!

Jawab:

2,2 radian = 2,2 x (180°/π) = 126°

B . Derajat ke Radian

1°=(π/180) radian

Contoh Soal 3

Soal: 15° berapa radian?

Jawab:

15° = 15 x (π/180) = 0,265 radian

Contoh Soal 4

Soal: Nyatakan sudut 60° dalam π radian!

Jawab:

60° = 60 x (π/180) = π/3 radian

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan dudut istimewa (60° , 30° , 45° )

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandin gantrigonometrinya dapat dicari tanpa memakai table matematika atau kalkulator, yaitu: 0°, 30°, 45°,60°, dan 90°.

Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30°, 45°,dan 60°.

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Contoh:

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius  

a. sisi yang berhadapan dengan sudut adalah De atau depan

b. sisi yang menempelnya di sudut siku2 adalah Sa atau Samping

c.sisi yang berhadapan dengan sudut siku2 adalah Mi atau Miring

sin  α = de/mi                      csc α = mi/de

cos α=  sa/mi                      sec α = mi/sa

tan α = de/sa                       cot α = sa/de

 segitiga siku2 ABC jika tan  = ¾ ( A sudut lancip) brpkah cos ?

Diket: tan α = ¾

Dit: cos α?

Jwb: carilah sisi miring dengan phytagoras

Yaitu mi=5

cos α = sa/mi = 4/5

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

sudut dapat dikelompokkan menjadi 4 wilayah atau kuadran didasarkan pada besarnya sudut, yaitu:

 1. Sudut-sudut yang terletak di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 0° sampai 900° atau 0° < 1a < 90°.

 2. Sudut-sudut yang terletak di kuadran II, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 90° sampai 180° atau 90° < 2a < 180°.

3. Sudut – sudut yang terletak di kuadran III, yaitu sudut- sudut yang besarnya antara 180° < 3a < 270°.

4. Sudut – sudut yang terletak di kuadran IV, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 270° < 3a < 360°

Untuk Kuadran I  sin a =y/r (positif)  , cos  a=x/ r (positif) , tan a= y/x (positif)

Untuk Kuadran II  sin a= y/ r (positif) , cos a= -x/ r (negatif) ,  tan a= y/ -x (negatif)

 Untuk Kuadran III  sin a= -y /r (negatif) , cos a=  -x/ r (negatif) ,tan a=-y/ -x (positif)

Untuk Kuadran IV sin a= –y/ r (negatif) , cos a  x/ r (positif)   = tan a –y/ x (negatif)

Hasil-hasil diatas, untuk memudahkan dalam memahami dan menghafalkan

Diketahui cos β = ½ √3

Carilah : a. sin β b. tan β c. sec β d. cosec β

Jawab: Karena tidak ada keterangan, maka sudut terletak di kuadran I

 BC² = AC²– AB²            BC= √1

 = 22 – (√3)2                      = 1

 = 4 - 3 = 1

Maka nilai dari

a. sin β = BC AC = ½

b. tan β = BC AB = 1 √3 . √3 √3 = ⅓ √3

 c. sec β = AC AB = 2 √3 . √3 √3 = ⅔ √3

d. cosec β = AC BC = 2 1 = 2

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

1. Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

Rumus Untuk Cosinus Jumlah Selisih Dua Sudut :

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus Untuk Sinus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut :

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

Rumus Untuk Tangen Jumlah Dan Selisih Dua Sudut :

tan A (A + B) = tan A + tan B/1 – tan A x tan B

tan A (A – B) = tan A – tan B/1 + tan A x tan B

2. Rumus Trigonometri Untuk Sudut Rangkap

Dengan Menggunakan Rumus sin (A + B) Untuk A = B :

sin 2A = sin (A + B)

= sin A cos A + cos A sin A

= 2 sin A cos A

Jadi, sin 2A = 2 sin A cos A

Dengan Menggunakan Rumus cos (A + B) Untuk A = B :

cos 2A = cos (A + A)

= cos A cos A – sin A sin

= cos 2A – sin 2A ……………(1)

= cos 2A – (1 – cos 2A)

= cos 2A – 1 + cos 2A

= 2 cos 2A – 1………………(2)

= (1 – sin 2A) – sin 2A

= 1 – 2 sin 2A………………(3)-

Dari Peramaan (1), (2), (3) diatas didapatkan rumus yaitu 

Cos 2A = cos 2A – sin 2A

= 2 cos 2A – 1

= 1 – 2 sin 2A

Dengan Menggunakan Rumus tan (A + B) Untuk A = B :

tan 2A = tan (A + A)

              = tan A + tan A/1 tan A x tan A

              = 2 tan A/1 – tan 2A

Jadi, tan 2A = 2 tan A/1 – tan 2A

Contoh Soal Identitas Trigonometri

Contoh Soal :

Jika tan 5°= p. Tentukan :

tan 50°

Penyelesaian :]

tan 50° = tan (45° + 5°)

= tan 45° + tan 5°/1 – tan 45° x tan 5°

= 1 + p/1 – p Jadi, hasilnya adalah = 1 + p/1 – p

3.8 Menyelesaikan Koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub

Koordinat kartesius suatu titik merupakan posisi suatu titik dalam arah sumbu x dan dalam arah sumbu y terhadap titik asal O (0,0) sebagai titik pusatnya. Koordinat kartesius ditulis dengan notasi titik P (x,y).

Koordinat Kutub (Polar) suatu titik merupakan besarnya jarak suatu titik tertentu P (x,y) terhadap titik asal O (0,0) dan besarnya sudut yang terbentuk oleh garis OP terhadap sumbu x. Koordinat kutub ditulis dengan notasi P (r,α°).

                     P (x,y)    ---->  P (r, α°)

                α = tan^-1 (y/x) atau tan α = y/x

Contoh:

Contoh Soal Konversi Koordinat:

Penyelesaian:

Diketahui:  x = 4 dan y = -3

maka r = √x²+y² = √4²+(-3)² = √25 = 5

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-3/4)

              = -36,69 ° atau -37°

Jadi koordinat kutubnya (5, -37°).

Penyelesaian:

Diketahui:  x = 6 dan y = 8

maka r = √x²+y² = √6²+8² = √100 = 10

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (8/6)

              = 53,13 ° atau 53°

Jadi koordinat kutubnya (10, 53°).

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut

60∘. Jika jarak antara kelinci dan elang adalah 18meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah⋯ meter.

Jwb:

sisi depan sudut 60∘, ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus

sin 60° = x/180

1/2√3 = 18

x=18. 1/2√3

= 9√3

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Aturan Sinus (Law of Sines atau Sines Law/Rule) adalah teorema berupa persamaan yang menghubungkan nilai sinus sudut dalam segitiga dengan panjang sisi di depannya dalam bentuk perbandingan.

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a: 4 cm  sudut a: 120° dan sudut b: 30° berapa panjang sisi c Karena jumlah besar sudut dalam segitiga selalu 180∘, maka ∠C=(180−120−30)∘=30∘. Selanjutnya, dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh

a/sin A = c/sin C

4/sin 120° = c/sin 30°

4/√3 ½  = c/ ½

C = 4/√3= 4/3√3

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….

Untuk menentukan luas segitiga sembarang yang diketahui panjang dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dapat memanfaatkan fungsi sinus.

L: ½ .18.16.sin 60°

L: : ½ .18.16. ½ √3

L: 72√3 m²

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

Persamaan pada aturan cosinus menyatakan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga. Aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan besar salah satu sudut segitiga saat tiga sisi segitiha diketahui. Sedangkan untuk menentukan salah satu sisi segitiga, aturan cosinus dapat digunakan saat diketahui dua sisi dan sudut apitnya.

 Segitiga sama kaki dengan sudut lan cip C memiliki panjang BC: 12 berapa panjang AB?

Jwb:

c² = a² + b² - 2ab cos 30°

c² = 12² + 12² - 2(12) (12) (. ½ √3)

c² = 2 (12²) - 12²√3

c=√12²(2-3)= 12√2-√3 

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut

Pada suatu segitiga dengan sisi-sisi a, b, dan c memenuh  a²-b²= c²-bc. Maka besar sudut A adalah ….

Jawab:

a²=b²+c²-bc

a²= b² + c²-2bc. Cos A ÷  2

0= -bc + 2bc. Cos A

bc= 2bc.cos A

cos A = bc/2bc

cos A = ½  jdi A + 60°

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

Dua orang guru dengan tinggi badan yang sama yaitu 170 cm sedang berdiri memandang puncak tiang bendera di sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10 m di depan guru kedua. Jika sudut elevasi guru pertama 60∘ dan guru kedua 30∘ maka dapatkah anda menghitung tinggi tiang bendera tersebut?

Misalkan panjang CD = BG = x

*). Menentukan nilai x

Segitiga ABG :

tan60∘=AB/x→AB=xtan60∘→AB= √3x

Segitiga ABF , subsitusi ke AB= √3x

Tan 30° = AB/BF

1/√3 =√3x/ x+ 10

√3.√3x= x+ 10

3x= x+ 10

2x=10

x=5

AB = √3x = √3. 5 = 5√3  jdi tinggi bendera adalah 5√3 

KD 3.10

1. Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x 

Grafik di atas adalah grafik fungsi 

$\cdots \cdot$

$X$) dengan bentuk umum $f\left(x\right)=a\cos kx$.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac{1}{2}$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac{1}{2}$, sehingga
$\begin{array}{cc}a& =\frac{\text{N. Maksimum}-\text{N. Minimum}}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$
Saat $x=0^{\circ }$, nilai fungsinya $\frac{1}{2}$, lalu berulang kembali di $x=\pi$, sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k=\frac{2\pi }{\text{Periode}}=\frac{2\pi }{\pi }=2$.
Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi 

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x$

2. Menyelesaikan membaca gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x
Soal 1 :

Pada interval 45°< x < 90° maka grafik dari y = 3 cos 2x akan

Diketahui:

y = 3 cos 2x

Ditanya: grafik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90°

Jawab:

Untuk menggambar grafik, diperlukan titik-titik yang melalui koordinat (x, y). Titik-titik tersebut diperoleh dengan cara mendaftar anggota pada grafik y = 3 cos 2x .

Karena hanya diperlukan pada interval 45° ≤ x ≤ 90° , maka kita hanya akan mendaftar sudut-sudut istimewa pada interval tersebut. Sudut istimewa diantara 45° - 90° adalah: 45°, 60°, dan 90°. Maka diperoleh:

x = 45°, 60°, dan 90°

subtitusikan nilai x satu persatu kedalam persamaan y

untuk x = 45°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(45°)

y = 3 cos 90°

y = 3(0)

y = 0

Maka diperoleh titik (45°, 0)

untuk x = 60°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(60°)

y = 3 cos 120°

Ingat! cos 120° terletak di kuadran II

y = 3 (-cos (180° - 60°))

y = 3

y = 

Maka diperoleh titik (60°, )

untuk x = 90°

y = 3 cos 2x

y = 3 cos 2(90°)

y = 3 cos 180°

y = 3(-1)

y = -3

Maka diperoleh titik (90°, -3)

Dari titiik-titik tersebut kemudian digambar pada bidang kartesisus. Gambar grafik dapat dilihat pada lampiran. Dari grafik tersebut terlihat bahwa grafik y = 3 cos 2x terletak di bawah sumbu- x, atau pada sumbu- y negatif, dan graik tersebut juga terbuka ke atas.

∴ Jadi graik y = 3 cos 2x pada interval 45° ≤ x ≤ 90° akan terbuka keatas dan di bawah sumbu-x atau pada sumby-y negatif.

3. Menyelesaikan range nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Soal 1 :

Pada interval 0° < x < 90° grafik fungsi seluruhnya berada di atas sumbu x. fungsi tersebut adalah

Jawab:

y = sin 2* 0 = sin  0 = 0

y = sin 2 * 45 = sin 90 = 1

y = sin 2 * 90 = sin 180 = 0

jadi  fungsi y = sin 2x

4. Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

Soal 1 : 

Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah...

Jawab :

Nilai maksimum dari fungsi y = 4 sin x cos x adalah 2. Nilai dari sin ax dan cos ax adalah –1 ≤ sin ax ≤ 1 dan –1 ≤ cos ax ≤ 1, sehingga:

Nilai maksimum dari sin ax dan cos ax adalah 1

Nilai minimum dari sin ax dan cos ax adalah –1  

dengan a adalah bilangan real

Rumus sudut rangkap pada trigonometri

sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos² A – sin² A

cos 2A = 2 cos² A – 1

cos 2A = 1 – 2 sin² A

tan 2A = 

y = 4 sin x cos x

y = 2 . 2 sin x cos x

y = 2 . sin 2x

y = 2 sin 2x

karena nilai dari sin 2x adalah –1 ≤ sin 2x ≤ 1, maka y = 2 sin 2x akan bernilai maksimum jika sin 2x = 1

sehingga nilai maksimum dari y = 4 sin x cos x adalah

y = 2 sin 2x

y = 2 (1)

y = 2

Soal 2 : 

Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...

Jawab : 

Nilai Maksimum minimum fungsi trigonometri

y = √3 cos x - sin x  ubah  bentu ke y = k  cos ( x -  a)
a= √3
b = - 1
k = √(a²+b²)
k = √(3 +1)= +_2
Nilai minimum nya = -2

Remedial PAT

1.Perbandingan Trigonometri

A.Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah 

$\cdots \cdot$

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni $-$${30}^{}$${}^{}$$-{30}^{\circ }$.Karena satu putaran sama dengan ${360}^{}$${}^{}$${360}^{\circ }$, maka $-$${30}^{}$${}^{}$$-{30}^{\circ }$ sama dengan $($$360$$-$$30$${)}^{}$${}^{}$$=$${330}^{}$${}^{}$$(360-30{)}^{\circ }={330}^{\circ }$
Jadi, besar sudutnya adalah ${330}^{}$${}^{}$$\boxed{{\displaystyle {330}^{\circ }}}$

2.Sudut Berelasi

$\boxed{{\displaystyle {<div\; style="font-size:\; 16px;">\; <span\; style="font-weight:\; normal;"><br></span></div>\; <div\; style="font-size:\; 16px;">\; <br></div>}^{}}}$

A. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

$$sin 20° Yaitu...
sin 20° = sin (90° − 70°)
= cos 70°

B.Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 143° Yaitu...
Sudut 143° adapada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
= -tan 37°

$\boxed{{\displaystyle {C.<span\; style="font-weight:\; normal;">Untuk\; perbandingan\; trigonometri\; berikut,\; nyatakanlah\; dalam\; perbandingan\; trigonometri\; sudut\; komplemennya cos\; 53°\; yaitu.. </span><div\; class="MsoNormal"\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; initial;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; line-height:\; 18pt;">\; <span\; style="font-family:\; "times\; new\; roman",\; serif;\; font-size:\; 12pt;"><span\; style="font-weight:\; normal;">cos\; 53°\; =\; cos\; (90°\; -\; 37°)=\; sin\; 37°</span><b><o:p></o:p></b></span></div>\; <div\; class="MsoNormal"\; style="background-attachment:\; initial;\; background-clip:\; initial;\; background-image:\; initial;\; background-origin:\; initial;\; background-position:\; initial;\; background-repeat:\; initial;\; background-size:\; initial;\; line-height:\; 18pt;">\; <br></div>}^{}}}$

$\boxed{{\displaystyle {<span\; style="font-family:\; sans-serif;\; font-weight:\; 400;">D.Nyatakan\; tiap\; perbandingan\; trigonometri\; berikut\; di\; dalam\; sudut\; 37° </span>}^{}}}$sin 233° yaitu..

$$3.Aturan Sinus Cosinus Dan Luas Segitiga

A.
Panjang sisi-sisi pada $△ABC$ berbanding $6:5:4$. Cosinus sudut yang terbesar dari segitiga tersebut adalah...

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Kita misalkan $AC=6,AB=5$, dan $BC=4$.
Dengan menggunakan Aturan Cosinus, nilai masing-masing cosinus sudut dapat ditentukan karena panjang ketiga sisi segitiganya telah diketahui.
Cosinus sudut $A$ adalah
$\begin{array}{cc}\cos A& =\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2\cdot AC\cdot AB}\\ & =\frac{6^2+5^2-4^2}{2\cdot 6\cdot 5}\\ & =\frac{36+25-16}{60}\\ & =\frac{45}{60}=\frac{2}{3}\end{array}$
Cosinus sudut $B$ adalah
$\begin{array}{cc}\cos B& =\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}\\ & =\frac{5^2+4^2-6^2}{2\cdot 5\cdot 4}\\ & =\frac{25+16-36}{40}\\ & =\frac{5}{40}=\frac{1}{8}\end{array}$
Cosinus sudut $C$ adalah
$\begin{array}{cc}\cos A& =\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}\\ & =\frac{6^2+4^2-5^2}{2\cdot 6\cdot 4}\\ & =\frac{36+16-25}{48}\\ & =\frac{27}{48}=\frac{9}{16}\end{array}$
Karena $\frac{1}{8}<\frac{9}{16}<\frac{3}{4}$, maka cosinus sudut terbesar adalah pada sudut $A$,  Yaitu cos A =3/4

B. Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh $16$ km dengan arah ${40}^{\circ }$, kemudian berbelok sejauh $24$ km ke tempat B dengan arah ${160}^{\circ }$. Jarak A dan B adalah... km

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Pada segitiga $ABC$ di atas, diketahui $AC=16\text{km}$, $CB=24\text{km}$, dan $\angle ACB={60}^{\circ }$. Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{array}{cc}A{B}^2& =A{C}^2+C{B}^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot \cos {60}^{\circ }\\ A{B}^2& =(16{)}^2+(24{)}^2-2\cdot 16\cdot 24\cdot \frac{1}{2}\\ A{B}^2& =256+576-384\\ A{B}^2& =448\\ AB& =\sqrt{448}=8\sqrt{7}\end{array}$ 
Jadi, jarak A ke B adalah $8\sqrt{7}\text{km}$

$\cos A={\displaystyle \frac{3}{4}}$

$\boxed{{\displaystyle {<span\; style="font-family:\; sans-serif;\; font-size:\; x-small;"><span\; style="font-weight:\; 400;">C</span><span\; style="font-weight:\; 400;">.<span\; style="font-weight:\; normal;">d</span></span></span>}^{}}}$alam sebuah lingkaran yang berjari-jari 

$\boxed{{\displaystyle {<span\; style="font-family:\; sans-serif;\; font-size:\; x-small;"><span\; style="font-weight:\; 400;"><span\; style="font-weight:\; 400;"><br></span></span></span>}^{}}}$

$\boxed{{\displaystyle {<span\; style="font-family:\; sans-serif;\; font-size:\; x-small;"><span\; style="font-weight:\; 400;"><span\; style="font-weight:\; 400;"></span></span></span>}^{}}}$

$$4. Persamaan Trigonometri

A.$\boxed{{\displaystyle {<span\; aria-describedby="qtip-157"\; class="tooltipsall\; classtoolTips292"\; data-hasqtip="157"\; style="border-bottom:\; 2px\; dotted\; rgb(136,\; 136,\; 136);\; box-sizing:\; inherit;">Himpunan</span> penyelesaian<span\; style="color:\; \#333333;\; font-family:\; verdana,\; geneva,\; sans-serif;\; font-weight:\; 400;"> </span><span\; class="tooltipsall\; classtoolTips250"\; data-hasqtip="277"\; style="border-bottom:\; 2px\; dotted\; rgb(136,\; 136,\; 136);\; box-sizing:\; inherit;\; color:\; \#333333;\; font-family:\; verdana,\; geneva,\; sans-serif;\; font-weight:\; 400;">persamaan</span><span\; style="color:\; \#333333;\; font-family:\; verdana,\; geneva,\; sans-serif;\; font-weight:\; 400;"> </span>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><mi>cos</mi></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mi>\pi </mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mn>3</mn></mfrac></mrow></mstyle></mrow></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><msqrt><mrow><mn>3</mn></mrow></msqrt></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<span\; style="color:\; \#333333;\; font-family:\; verdana,\; geneva,\; sans-serif;\; font-weight:\; 400;"> untuk </span>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><mn>0</mn></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><mi>x</mi></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<math><mrow><mi>\pi </mi></mrow></math>}^{}}}$$\boxed{{\displaystyle {<span\; style="color:\; \#333333;\; font-family:\; verdana,\; geneva,\; sans-serif;\; font-weight:\; 400;"><span\; style="font-size:\; x-small;"> adala</span></span><span\; style="color:\; \#333333;\; font-family:\; verdana,\; geneva,\; sans-serif;\; font-size:\; 13.3333px;\; font-weight:\; 400;">h ...</span>}^{}}}$
$$Diketahui:
$\begin{array}{cc}2\cos (x-\frac{\pi }{3})& =\sqrt{3}\\ \cos (x-\frac{\pi }{3})& =\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos (x-\frac{\pi }{3})& =\cos \frac{\pi }{6}\end{array}$
Kemungkinan 1:
$\begin{array}{cc}x-\frac{\pi }{3}& =\frac{\pi }{6}+k\cdot 2\pi \\ x& =\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}+k\cdot 2\pi \\ x& =\frac{\pi }{2}+k\cdot 2\pi \end{array}$
Untuk $k=0$, diperoleh $x=\frac{\pi }{2}\left(✓\right)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x=2\frac{1}{2}\pi \left(\text{X}\right)$
Kemungkinan 2:
$\begin{array}{cc}x–\frac{\pi }{3}& =-\frac{\pi }{6}+k\cdot 2\pi \\ x& =–\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}+k\cdot 2\pi \\ x& =\frac{\pi }{6}+k\cdot 2\pi \end{array}$ 
Untuk $k=0$, diperoleh $x=\frac{\pi }{6}\left(✓\right)$ 
Untuk $k=1$, diperoleh $x=2\frac{1}{6}\pi \left(\text{X}\right)$Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah   

$$$\{\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\}$

 B.Himpunan penyelesaian persamaan 
$\sin 4x-\cos 2x=0$ dengan $0^{\circ }\le x\le {180}^{\circ }$
 Dengan menggunakan bentuk umum rumus sudut ganda sinus, yaitu

$\sin 2ax=2\sin ax\cos ax$
diperoleh
$\begin{array}{cc}\sin 4x-\cos 2x& =0\\ \left(2\sin 2x\cos 2x\right)-\cos 2x& =0\\ \cos 2x(2\sin 2x-1)& =0\end{array}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\cos 2x=0⟹x={45}^{\circ }\vee {135}^{\circ }$
atau
$\begin{array}{cc}2\sin 2x-1& =0\\ \sin 2x& =\frac{1}{2}\\ x& ={15}^{\circ }\vee x={75}^{\circ }\end{array}$
Jadi, HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\{{15}^{\circ },{45}^{\circ },{75}^{\circ },{135}^{\circ }\}$

C.Jika diketahui 

$\sin (-x+5{)}^{\circ }=\cos (25-3x{)}^{\circ }$, maka himpunan penyelesaian untuk nilai $x$ pada interval $0^{\circ }\le x^{\circ }\le {90}^{\circ }$ adalah 

Hubungan sinus dan cosinus pada kuadran I dinyatakan oleh:
$\sin (90-x{)}^{\circ }=\cos x^{\circ }$
Oleh karena itu, persamaan $\sin (-x+5{)}^{\circ }=\cos (25-3x{)}^{\circ }$ dapat ditulis menjadi
$\begin{array}{cc}\cos (90-(-x+5){)}^{\circ }& =\cos (25-3x{)}^{\circ }\\ \cos (x+85{)}^{\circ }& =\cos (25-3x{)}^{\circ }\end{array}$
Selanjutnya, dengan menggunakan konsep persamaan dasar trigonometri untuk cosinus, kita peroleh dua kemungkinan untuk mencari penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{array}{cc}(x+85{)}^{\circ }& =(25-3x{)}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ 4x^{\circ }& =-{60}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x^{\circ }& =-{15}^{\circ }+k\cdot {90}^{\circ }\end{array}$
Untuk nilai $k$ tertentu, kita peroleh nilai $x$.
$\begin{array}{ccc}\text{Nilai}k& \text{Nilai}x& \text{Keterangan}\\ 0& -15& \text{Tidak Memenuhi}\\ 1& 75& \text{Memenuhi}\\ 2& 165& \text{Tidak Memenuhi}\end{array}$
Catatan: Nilai $x$ yang diperoleh dianggap memenuhi bila dalam interval $0^{\circ }\le x^{\circ }\le {90}^{\circ }$.
Kemungkinan 2:
$\begin{array}{cc}(x+85{)}^{\circ }& =-(25-3x{)}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ -2x^{\circ }& =-{110}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x^{\circ }& ={55}^{\circ }-k\cdot {180}^{\circ }\end{array}$
Untuk nilai $k$ tertentu, kita peroleh nilai $x$.
$\begin{array}{ccc}\text{Nilai}k& \text{Nilai}x& \text{Keterangan}\\ 0& 55& \text{Memenuhi}\\ 1& 125& \text{Tidak Memenuhi}\end{array}$
Jadi, himpunan penyelesaian untuk nilai $x$ adalah $\{55,75\}$.

D.Nilai 

$x$ yang memenuhi persamaan $\cos x=\frac{1}{2}$ untuk $0^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }$ adalah

Diketahui:
$\cos x=\frac{1}{2}=\cos {60}^{\circ }$
Kemungkinan 1:
$x={60}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }$
Untuk $k=0$, diperoleh $x={60}^{\circ }\left(✓\right)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x={420}^{\circ }\left(\text{X}\right)$
Kemungkinan 2:
$x=-{60}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }$
Untuk $k=0$, diperoleh $x=-{60}^{\circ }\left(\text{X}\right)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x={300}^{\circ }\left(✓\right)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x={660}^{\circ }\left(\text{X}\right)$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\{{60}^{\circ },{300}^{\circ }\}$ 

5.Grafik Trigonometri

A.Diketahui grafik fungsi y1=5sinx dan y2=sin5x. Pernyataan berikut yang benar adalah

Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah $y=a\sin kx$.
Periode:
Periode $y_1=5\sin x$ dengan $k=1$ adalah $P_1=\frac{{360}^{\circ }}{1}={360}^{\circ }$, sedangkan periode $y_2=\sin 5x$ dengan $k=5$ adalah $P_2=\frac{{360}^{\circ }}{5}={72}^{\circ }$.
Dapat disimpulkan bahwa periode $y_1$ sama dengan 5 kali periode $y_2$.
Amplitudo:
Amplitudo $y_1=5\sin x$ dengan $a=5$ adalah $A_1=|a|=|5|=5$, sedangkan amplitudo $y_2=\sin 5x$ dengan $a=1$ adalah $A_2=|a|=|1|=1$. Dapat disimpulkan bahwa amplitudo $y_1$ 5 kali amplitudo $y_2$.

B.Grafik $f\left(x\right)=2\cos x$ memotong sumbu-$X$ di titik berkoordinat...

Apabila grafik memotong sumbu-$X$, maka nilai $f\left(x\right)=y=0$. Dengan demikian,
$f\left(x\right)=2\cos x\Rightarrow 0=2\cos x\iff \cos x=0$
Nilai $x$ yang membuat $\cos x$ bernilai 0 adalah ${90}^{\circ }$.
Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat  

$({90}^{\circ },0)$

C.Grafik di atas adalah grafik fungsi 

$\cdots \cdot$

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena grafiknya dimulai dari sumbu-$Y$) dengan bentuk umum $f\left(x\right)=a\cos kx$.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac{1}{2}$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac{1}{2}$, sehingga
$\begin{array}{cc}a& =\frac{\text{N. Maksimum}-\text{N. Minimum}}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$
Saat $x=0^{\circ }$, nilai fungsinya $\frac{1}{2}$, lalu berulang kembali di $x=\pi$, sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k=\frac{2\pi }{\text{Periode}}=\frac{2\pi }{\pi }=2$.
Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi  

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x$

D.Diketahui 

$f\left(x\right)=\cos x+3$ dengan $0\le x\le 2\pi$. Daerah hasil fungsi $f\left(x\right)$ adalah 

Agar $f\left(x\right)=\cos x+3$ mencapai maksimum, maka $\cos x$ haruslah sebesar-besarnya, yaitu $\cos x=1$. Untuk itu,
$f_{\text{maks}}\left(x\right)=1+3=4$
Agar $f\left(x\right)=\cos x+3$ mencapai minimum, maka $\cos x$ haruslah sekecil-kecilnya, yaitu $\cos x=-1$. Untuk itu,
$f_{\text{min}}\left(x\right)=-1+3=2$
Jadi, daerah hasil fungsi $f\left(x\right)$ adalah semua nilai (bilangan real) dari $2$ sampai $4$, atau secara matematis ditulis $2\le f\left(x\right)\le 4$