Metode Pembuktian Matematika

NAMA: KHIRQA ADAVYA (19)

KELAS: 11 IPS 3

1. Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung dalam Matematika dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi).

Contoh 1 : 

Buktikan bahwa : "jika n bilangan ganjil, maka n² bilangan ganjil"

Bukti : 

Diketahui bahwa n bilangan ganjil 

Karena n bilangan ganjil, maka n=2k+1, dengan k bilangan bulat

n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k²+2k) + 1

Bentuk 2(2k²+2k)+1 adalah bilangan ganjil
Jadi, n² bilangan ganjil
Contoh 2 :



2. Pembuktian Tidak Langsung
Pembuktian tidak langsung/pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara, yaitu :

1. Kontraposisi
2. Kontradiksi

• Kontraposisi

1) Pembuktian tidak langsung dengan kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi
2) Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut
3) Secara simbolik :
   p → q = ~q → ~p
   artinya untuk membuktikan kebenaran p → q
   kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p
Contoh 1 : 
Buktikan bahwa : "jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil"
Bukti :
Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya.
Misalnya : p = n² bilangan ganjil
                  q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ?
Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli
Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²)

Artinya n² bilangan genap
Jadi, pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil BENAR, sehingga kontraposisi ~q → ~p BENAR. Jadi, implikasi p → q benar, ini berarti n² bilangan ganjil maka n bilangan ganjil
Contoh 2 :

• Kontradiksi

1) Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada
2) Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada
Contoh 1 :
Buktikan bahwa : "untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil"
Bukti :
Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :
n² = (2k)²
n² = 4k²
n² = bilangan bulat genap (~p)
Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedang dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu, kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar
Contoh 2 :



3. Induksi Matematika
Induksi Matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli
Prinsip Induksi Matematika : Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n
Contoh :
Buktikan bahwa : "1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n², untuk semua bilangan asli n"
Bukti :
Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n²
(a) P(1) benar, sebab 1=1
(b) Apabila P(k) benar, yaitu apabila 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k-1) = k², maka 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2k-1 + 2k+1 = (1 + 3 + 7 + ... + 2k-1 + 2k+1
= k² + 2k + 1
= (k+1)²
Sehingga P(k+1) benar