BARISAN DAN DERET GEOMETRI KELAS 11

 Nama : Khirqa Adavya (19)

Kelas : XI IPS 3

Barisan dan deret geometri adalah salah satu materi yang dipelajari dalam Matematika SMA. Barisan geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan. Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

CONTOH SOAL:

1.Di antara rumus barisan berikut ini, yang merupakan barisan geometri adalah ⋯⋅

A. Un=4n−5
B. Un=2n⋅n−2
C. Un=2n3−1
D. Un=n3⋅2−n
E. Un=2n+1⋅3−n

pembahasan :

Barisan geometri memiliki rumus umum ${\text{U}}_n=a{r}^{n-1}$. Perhatikan bahwa rumus barisan geometri hanya terdiri dari $1$ suku (tidak ada penjumlahan dan pengurangan).
Opsi A: ${\text{U}}_n=4^n-5$
Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku (ada pengurangan) sehingga jelas bukan barisan geometri.
Opsi B: ${\text{U}}_n=2^n\cdot n^{-2}$
Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis.
Opsi C: ${\text{U}}_n=2n^3-1$
Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku (ada pengurangan) sehingga jelas bukan barisan geometri.
Opsi D: ${\text{U}}_n=n^3\cdot 2^{-n}$
Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis.
Opsi E: ${\text{U}}_n=2^{n+1}\cdot 3^{-n}$
Perhatikan bahwa rumus barisan di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_n& =2^n\cdot 2^1\cdot \frac{1}{3^n}\\ & =2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\end{array}$
Bentuk rumus terakhir menunjukkan bahwa ini adalah barisan geometri dengan suku pertama $a=2$ dan rasio $r=\frac{2}{3}$.
(Jawaban E)

2.Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah 

$24$ dan suku ke-$3$ adalah $\frac{8}{3}$. Suku ke-$5$ barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{8}{3}$                   C. $\frac{8}{18}$                    E. $\frac{8}{36}$
B. $\frac{8}{9}$                   D. $\frac{8}{27}$     

PEMBAHASAN:

Diketahui $a=24$ dan ${\text{U}}_3=\frac{8}{3}$. Langkah pertama adalah menentukan rasio barisan geometri ini terlebih dahulu.
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_n& =a{r}^{n-1}\\ {\text{U}}_3& =\frac{8}{3}=24r^{3-1}\\ \frac{8}{3}& =24r^2\\ r^2& =\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{24}\\ r^2& =\frac{1}{9}\\ r& =\frac{1}{3}\end{array}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_5& =a{r}^4\\ & =24{\left(\frac{1}{3}\right)}^4\\ & =24\cdot \frac{1}{81}=\frac{8}{27}\end{array}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\frac{8}{27}$
(Jawaban D) 

3.Suku pertama dari barisan geometri adalah 

$\frac{5}{2}$ dan suku ke-$4$ adalah $20$. Besar suku ke-$6$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $80$                   C. $25$                 E. $-80$
B. $50$                   D. $-25$          

PEMBAHASAN:

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_1& =a=\frac{5}{2}\\ {\text{U}}_4& =20\end{array}$
Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini.
Perhatikan bahwa,
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_4& =20\\ a{r}^3& =20\\ \frac{5}{2}{r}^3& =20\\ r^3& =20\times \frac{2}{5}\\ r^3& =8\\ r& =\sqrt[3]{38}=2\end{array}$
Selanjutnya, carilah suku ke-$6$.
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_6& =a{r}^5\\ & =\frac{5}{2}\times 2^5\\ & =80\end{array}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan tersebut adalah $80$
(Jawaban A)

4.Diketahui barisan geometri dengan suku ke-

$5=162$ dan suku ke-$2=-6$. Rasio barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                   C. $-\frac{1}{3}$                E. $3$
B. $-2$                   D. $\frac{1}{2}$ 

PEMBAHASAN:

Diketahui ${\text{U}}_5=162$ dan ${\text{U}}_2=-6$. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh
$\begin{array}{cc}\frac{{\text{U}}_5}{{\text{U}}_2}& =\frac{162}{-6}\\ \frac{a{r}^4}{ar}& =-27\\ r^3& =-27\\ r& =-3\end{array}$
Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $-3$

5.Suatu barisan geometri dengan suku pertama 

$16$ dan ${\text{U}}_4=2$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $31$                        C. $32$                  E. $64$
B. $31,5$                    D. $63$           

PEMBAHASAN :

Diketahui $a=16$ dan ${\text{U}}_4=2$. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu.
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_4& =2\\ a{r}^3& =2\\ 16r^3& =2\\ r^3& =\frac{1}{8}\\ r& =\frac{1}{2}\end{array}$
Dengan menggunakan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan geometri:
$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$
diperoleh
$\begin{array}{cc}{S}_6& =\frac{16(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^6)}{1-\frac{1}{2}}\\ & =\frac{16(1-\frac{1}{64})}{\frac{1}{2}}\\ & =16\cdot \frac{63}{64}\cdot \frac{2}{1}\\ & =\frac{63}{4}\cdot 2=31,5\end{array}$
Jadi, jumlah $6$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $31,5$
(Jawaban B) 

6.Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah 

$5\log 3$. Bila suku ke-$4$ deret tersebut adalah $12$, maka suku ke-$6$ deret tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $192$                  C. $16$                 E. $2$
B. $96$                    D. $12$      

PEMBAHASAN :

Diketahui: ${\text{U}}_4=12$
Jumlah logaritma dari lima suku pertama deret geometri adalah $5\log 3$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}\log {\text{U}}_1+\log {\text{U}}_2& +\log {\text{U}}_3+\log {\text{U}}_4\\ & +\log {\text{U}}_5=5\log 3\end{array}$ 
Dengan menggunakan sifat logaritma dasar, diperoleh
$\begin{array}{cc}\log ({\text{U}}_1\cdot {\text{U}}_2\cdot {\text{U}}_3\cdot {\text{U}}_4\cdot {\text{U}}_5)& =\log 3^5\\ {\text{U}}_1\cdot {\text{U}}_2\cdot {\text{U}}_3\cdot {\text{U}}_4\cdot {\text{U}}_5& =3^5\\ a\left(ar\right)\left(a{r}^2\right)\left(a{r}^3\right)\left(a{r}^4\right)& =3^5\\ a^5{r}^{10}& =3^5\\ (a{r}^2{)}^5& =3^5\\ {\text{U}}_3=a{r}^2& =3\end{array}$
Rasio barisan geometri ini adalah
$r=\frac{{\text{U}}_4}{{\text{U}}_3}=\frac{12}{3}=4$
Dengan demikian, 
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_5& ={\text{U}}_4\cdot r=12\cdot 4=48\\ {\text{U}}_6& ={\text{U}}_5\cdot r=48\cdot 4=192\end{array}$
Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $192$
(Jawaban A)

7.Suku ke-

$n$ deret geometri adalah ${\text{U}}_n$. Jika $\frac{{\text{U}}_6}{{\text{U}}_8}=3$ dan ${\text{U}}_2\cdot {\text{U}}_8=\frac{1}{3}$, maka nilai ${\text{U}}_{10}=\cdots \cdot$
A. $\frac{1}{27}$                         D. $\frac{\sqrt{3}}{9}$
B. $\frac{1}{9}$                           E. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{27}$

PEMBAHASAN :

Diketahui $\frac{{\text{U}}_6}{{\text{U}}_8}=3$, sehingga kita peroleh
$\begin{array}{cc}\frac{{\text{U}}_6}{{\text{U}}_8}& =3\\ \frac{a{r}^5}{a{r}^7}& =3\\ r^{-2}& =3\\ r^2& =\frac{1}{3}\\ (r^2{)}^4& ={\left(\frac{1}{3}\right)}^4\\ r^8& =\frac{1}{81}\end{array}$
Diketahui juga bahwa ${\text{U}}_2\cdot {\text{U}}_8=\frac{1}{3}$, sehingga kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_2\cdot {\text{U}}_8& =\frac{1}{3}\\ \left(ar\right)\left(a{r}^7\right)& =\frac{1}{3}\\ a^2{r}^8& =\frac{1}{3}\\ \text{Substitusi}{r}^8& =\frac{1}{81}\\ a^2\left(\frac{1}{81}\right)& =\frac{1}{3}\\ a^2& =\frac{1}{3}\cdot 81\\ a^2& =27\\ a& =\sqrt{27}=3\sqrt{3}\end{array}$
Karena $r^2=\frac{1}{3}$, maka $r=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$.
Dengan demikian, 
$\begin{array}{cc}{U}_{10}& =a{r}^9=a{r}^8\cdot r\\ & =\left(3\sqrt{3}\right)\left(\frac{1}{81}\right)\left(\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)=\frac{1}{27}\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\text{U}}_{10}=\frac{1}{27}$ 
(Jawaban A)

8. Jika jumlah 

$6.036$ suku pertama deret geometri adalah $1.141$ dan jumlah $4.024$ suku pertamanya adalah $780$, maka jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $400$                    D. $1.021$
B. $600$                    E. $1.521$

C. 800

PEMBAHASAN;

Dalam deret geometri, berlaku rumus berikut. 
$({\text{S}}_{2n}-{\text{S}}_n{)}^2={\text{S}}_n({\text{S}}_{3n}-{\text{S}}_{2n})$
Misalkan ${\text{S}}_n=A$, maka kita peroleh
$$\begin{array}{cc}({\text{S}}_{4.024}-{\text{S}}_{2.012}{)}^2& ={\text{S}}_{2.012}({\text{S}}_{6.036}-{\text{S}}_{4.024})\\ (780-A{)}^2& =A(1.141-780)\\ 608.400-1.560A+A^2& =361A\\ A2-1.921A+608.400& =0\\ (A-400)(A-1.521)& =0\end{array}$$Diperoleh $A=400$ atau $A=1.521$
Perhatikan bahwa ${\text{S}}_{6.036}=1.141$ dan ${\text{S}}_{4.012}=780$ menunjukkan tren menurun, sehingga pilih $A={\text{S}}_{2.012}=400$
Jadi, jumlah $2.012$ suku pertamanya adalah $400$
(Jawaban A)

9.Misalkan 

${\text{U}}_n$ menyatakan suku ke-$n$ barisan geometri. Jika diketahui ${\text{U}}_5=12$ dan $\log {\text{U}}_4+\log {\text{U}}_5-\log {\text{U}}_6=\log 3$, maka nilai ${\text{U}}_4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                     C. $8$                      E. $4$
B. $10$                     D. $6$     

PEMBAHASAN:

Diketahui bahwa $\log {\text{U}}_4+\log {\text{U}}_5-\log {\text{U}}_6=\log 3$, sehingga kita peroleh
$\begin{array}{cc}\log {\text{U}}_4+\log {\text{U}}_5-\log {\text{U}}_6& =\log 3\\ \log a{r}^3+\log a{r}^4-\log a{r}^5& =\log 3\\ \log \left(\frac{a{r}^3\cdot a{r}^4}{a{r}^5}\right)& =\log 3\\ \log a{r}^2& =\log 3\\ \log {\text{U}}_3& =\log 3\\ {\text{U}}_3& =3\end{array}$
Diketahui juga ${\text{U}}_5=12$. 
Untuk itu, didapat
${\text{U}}_4=\sqrt{{\text{U}}_3\cdot {\text{U}}_5}=\sqrt{3\cdot 12}=6$
Jadi, nilai dari ${\text{U}}_4=6$
(Jawaban D)

10.Suku ke-

$n$ suatu barisan geometri dirumuskan oleh ${\text{U}}_n=4^n$. Jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{1}{3}(4^{n+1}-4)$         D. $\frac{1}{3}(4^{n+1}-n)$
B. $\frac{1}{3}(4^n-4)$              E. $\frac{1}{3}(4^{n-1}+4)$
C. $\frac{1}{3}(4^{n-1}-4)$ 

PEMBAHSAN:

Rasio barisan geometri tersebut dapat ditentukan dengan membagi suku ke-$(n+1)$ dengan suku ke-$n$. Sebagai contoh, suku ke-$2$ dibagi suku ke-$1$.
$r=\frac{{\text{U}}_{n+1}}{{\text{U}}_n}=\frac{{\text{U}}_2}{{\text{U}}_1}=\frac{4^2}{4^1}=4$
Dari sini, juga didapat ${\text{U}}_1=a=4$
Dengan menggunakan rumus jumlah suku ke-$n$ barisan geometri, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\text{S}}_n& =\frac{a(r^n-1)}{r-1}\\ & =\frac{4(4^n-1)}{4-1}\\ & =\frac{4}{3}(4^n-1)\\ & =\frac{1}{3}(4^{n+1}-4)\end{array}$
Jadi, jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah ${\text{S}}_n=\frac{1}{3}(4^{n+1}-4)$ 
(Jawaban A)

DAFTAR PUSTAKA :

zenius.com

mathcyber.blogspot.com