PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

 Nama : Khirqa Adavya (19)

Kelas : XI IPS 3

Turunan fungsi aljabar merupakan salah satu subbab dari kalkulus diferensial.

Soal Nomor 1
Apabila $f\left(x\right)=x^2-\frac{1}{x}+1$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $x-x^{-2}$
B. $x+x^{-2}$
C. $2x+x^{-2}+1$
D. $2x-x^{-2}+1$
E. $2x+x^{-2}$

Pembahasan :

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x^2-\frac{1}{x}+1\\ & =x^2-x^{-1}+1\\ f^{\prime }\left(x\right)& =2x^{2-1}-(-1)x^{-1-1}+0\\ & =2x+x^{-2}\end{array}$
Jadi, hasil dari $f^{\prime }\left(x\right)=2x+x^{-2}$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{<br>}}^{}}}$

Soal Nomor 2
Jika $g\left(x\right)=\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}$, maka $g^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$
B. $-x^3+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$
C. $\frac{1}{x^2}+x^2-2$
D. $\frac{1}{x^2}+3x^2-2$
E. $\frac{1}{x^2}+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$

Pembahasan :

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{cccc}g\left(x\right)& =\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}& & \\ & =x^{-1}+x^3-\sqrt{2}{x}^{1/2}& & \\ g^{\prime }\left(x\right)& =-1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}{x}^{1/2-1}& & \\ & =-x^{-2}+3x^2-\frac{1}{2}\sqrt{2}{x}^{-1/2}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}& & \ast \end{array}$
Catatan: $\ast \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Jadi, hasil dari $g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{<br>}}}{}}}}$

Soal Nomor 3
Turunan pertama dari $f\left(x\right)=\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)$. Nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                 C. $4$                 E. $10$
B. $2$                    D. $5$

Pembahasan :

Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}\\ & =4(\underset{u}{\underset{}{x-3}}{)}^{-1}-6x^{-1}\\ f^{\prime }\left(x\right)& =4(-1)(x-3{)}^{-2}\cdot \underset{u^{\prime }}{\underset{}{1}}-6(-1)x^{-2}\\ & =-\frac{4}{(x-3{)}^2}+\frac{6}{x^2}\end{array}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan peroleh
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(1\right)& =-\frac{4}{(\left(1\right)-3{)}^2}+\frac{6}{{\left(1\right)}^2}\\ & =-\frac{4}{4}+\frac{6}{1}\\ & =-1+6=5\end{array}$
Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=5$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

Soal Nomor 4
Turunan pertama dari $H\left(x\right)=x^{2/3}(4x-5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}+\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
B. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
C. $\frac{10\sqrt[3]{3x}}{3}-\frac{20}{3\sqrt[3]{3x}}$
D. $\frac{-20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
E. $\frac{4x-5}{3\sqrt[3]{3x}}-\frac{4}{\sqrt[3]{3x}}$

Pembahasan :

Diketahui
$\begin{array}{cc}H\left(x\right)& =x^{2/3}(4x-5)\\ & =4x^{2/3}\cdot x-5x^{2/3}\\ & =4x^{5/3}-5x^{2/3}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}{H}^{\prime }\left(x\right)& =4\cdot \frac{5}{3}\cdot x^{5/3-1}-5\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{2/3-1}\\ & =\frac{20}{3}{x}^{2/3}-\frac{10}{3}{x}^{-1/3}\\ & =\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}\end{array}$
Jadi, turunan pertama dari $H\left(x\right)$ adalah $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\text{exception 25:}}{}}}}$

Soal Nomor 5
Diberikan $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$. Nilai $f^{\prime }\left(1\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                    E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan :

Diketahui $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $f\left(r\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(r\right)& =2\cdot \frac{3}{2}{r}^{\frac{3}{2}-1}-2\cdot \frac{1}{2}{r}^{\frac{1}{2}-1}\\ & =3r^{\frac{1}{2}}-r^{-\frac{1}{2}}\\ & =3\sqrt{r}-\frac{1}{r}\end{array}$
Untuk $r=1$, didapat
$f^{\prime }\left(1\right)=3\sqrt{1}-\frac{1}{1}=3-1=2$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

Soal Nomor 6
Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$. Nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ atau $1$                D. $1$ atau $2$
B. $-1$ atau $0$                E. $1$ atau $3$
C. $0$ atau $2$

Pembahasan :

Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{1}{3}\left(3\right)x^2-\frac{3}{2}\left(2\right)x+2-0\\ & =x^2-3x+2\end{array}$
Misalkan $y^{\prime }=0$, maka kita peroleh
$\begin{array}{cc}{x}^2-3x+2& =0\\ (x-2)(x-1)& =0\\ x=2\text{atau}& x=1\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $1$ atau $2$.

Soal Nomor 7

Jika $f\left(m\right)=4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}$, maka nilai $f^{\prime }\left(1\right)=\cdots \cdot$
A. $\frac{11}{4}$                 C. $\frac{7}{4}$                  E. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{9}{4}$                   D. $\frac{5}{4}$

Pembahasan :

Diketahui
$\begin{array}{cc}f\left(m\right)& =4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}\\ & =4+m^{3/4}+3m^{2/3}\end{array}$
Turunan pertama dari $f\left(m\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(m\right)& =0+\frac{3}{4}{m}^{3/4-1}+3\cdot \frac{2}{3}{m}^{2/3-1}\\ & =\frac{3}{4}{m}^{-1/4}+2m^{-1/3}\\ & =\frac{3}{4\sqrt[4]{4m}}+\frac{2}{\sqrt[3]{3m}}\end{array}$
Untuk $m=1$, diperoleh
$f^{\prime }\left(1\right)=\frac{3}{4\sqrt[4]{41}}+\frac{2}{\sqrt[3]{31}}=\frac{3}{4}+2=\frac{11}{4}$
Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=\frac{11}{4}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}}}$

Soal Nomor 8
Jika turunan pertama dari $y=(x^2+1)(x^3-1)$ adalah $y^{\prime }=a{x}^4+b{x}^2+cx$ dengan $a,b,c\in Z$, maka nilai dari $abc=\cdots \cdot$
A. $-60$                   C. $0$                    E. $60$
B. $-30$                   D. $30$

Pembahasan :

Diketahui
$\begin{array}{cc}y& =(x^2+1)(x^3-1)\\ & =x^5-x^2+x^3-1\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0\\ & =5x^4-2x+3x^2\\ & =5x^4+3x^2-2x\end{array}$
Karena itu, kita peroleh $a=5$, $b=3$, dan $c=-2$.
Catatan: $Z$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat.
Jadi, $abc=5\left(3\right)(-2)=-30$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

Soal Nomor 9
Turunan pertama dari $f\left(x\right)=x^2(3x-1{)}^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x(15x+2)(3x-1{)}^2$
B. $x(15x-2)(3x-1{)}^2$
C. $x(9x+2)(3x-1{)}^2$
D. $x(18x+2)(3x-1{)}^2$
E. $x(18x-2)(3x-1{)}^2$

Pembahasan :

Diketahui $f\left(x\right)=x^2(3x-1{)}^3$.
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
Misalkan
$$\begin{array}{cc}u& =x^2⟹u^{\prime }=2x\\ v& =(\underset{p}{\underset{}{3x-1}}{)}^3⟹v^{\prime }=3(3x-1{)}^2\left(\underset{p^{\prime }}{\underset{}{3}}\right)=9(3x-1{)}^2\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =\left(2x\right)(3x-1{)}^3+(x^2\left)\right(9(3x-1{)}^2)\\ & =(3x-1{)}^2(2x(3x-1)+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(6x^2-2x+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(15x^2-2x)\\ & =x(15x-2)(3x-1{)}^2\end{array}$
Jadi, turunan pertama dari $f\left(x\right)$ adalah $x(15x-2)(3x-1{)}^2$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{<br>}}^{}}}$

Soal Nomor 10
Jika $y=x\sqrt{2x^2+3}$, maka $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\cdots \cdot$
A. $(4x^2-3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
B. $(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
C. $2x(2x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
D. $x(2x+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
E. $(2x^2+3{)}^{1/2}$

Diketahui
$\begin{array}{cc}y& =x\sqrt{2x^2+3}\\ & =\sqrt{x^2(2x^2+3)}\\ & =\sqrt{2x^4+3x^2}\\ & =(\underset{u}{\underset{}{2x^4+3x^2}}{)}^{1/2}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertama $y$, yaitu
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =\frac{1}{2}(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\cdot (\underset{u^{\prime }}{\underset{}{8x^3+6x}})\\ & =\frac{1}{2}\left(2\right(4x^3+3x\left)\right)(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\\ & =(4x^3+3x)(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\\ & =x(4x^2+3)\cdot \frac{1}{x}(2x^2+3{)}^{-1/2}\\ & =(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}\end{array}$
Jadi, hasil dari $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{<br>}}^{}}}$

Soal Nomor 11
Jika $f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ dengan $x\ne 1$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $\frac{6x-6}{\sqrt{(2x-1{)}^3}}$
B. $\frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}$
C. $2x\sqrt{1-x^2}-\frac{x(x^2+3)}{\sqrt{1-x^2}}$
D. $-\frac{9}{4\sqrt{(3x+2{)}^3}}$
E. $\frac{3x^2-4}{2\sqrt{x^3-4x}}$

Pembahasan : 

Diketahui $f\left(x\right)=\sqrt{\underset{p}{\underset{}{\frac{x+2}{x-1}}}}$.
Pertama, kita akan mencari turunan dari $p$ terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$u=x+2⟹u^{\prime }=1$
$v=x-1⟹v^{\prime }=1$
Turunan dari $p$ adalah
$\begin{array}{cc}{p}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & =\frac{1(x-1)-(x+2)\left(1\right)}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{x-1-x-2}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{-3}{(x-1{)}^2}\end{array}$
Sekarang, akan dicari turunan $f\left(x\right)$ menggunakan aturan rantai.
$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& ={\left(\underset{p}{\underset{}{\frac{x+2}{x-1}}}\right)}^{1/2}\\ ⟹f^{\prime }\left(x\right)& =\frac{1}{2}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)}^{-1/2}\cdot \underset{p^{\prime }}{\underset{}{\frac{-3}{(x-1{)}^2}}}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}\cdot \frac{-3}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}\end{array}$$Jadi, $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{<br>}}}{}}}}$

Soal Nomor 12
Diketahui $f\left(x\right)=|x|$. Jika turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)$, maka nilai dari $f^{\prime }\left(999\right)=\cdots \cdot$
A. $0$                  C. $\frac{1}{999}$                E. $999$
B. $1$                  D. $2$

Pembahasan :

Diketahui $y=f\left(x\right)=|x|$.
Akan dicari turunan dari $y$.
$\begin{array}{cc}y& =|x|\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ y^2& =x^2\\ 2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =2x\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =\frac{x}{y}=\frac{x}{|x|}\end{array}$.
Untuk $x=999$, diperoleh
$f^{\prime }\left(999\right)=\frac{999}{|999|}=1$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

Soal Nomor 13
Turunan pertama dari $y=(2x+1{)}^5(x+1)$ ditulis sebagai $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$. Jika $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(ax+b{)}^4(cx+d)$ dengan $a,b,c,d$ bilangan bulat positif, maka nilai dari $a+b+c+d=\cdots \cdot$
A. $20$                 C. $26$                 E. $29$
B. $24$                 D. $27$

Pembahasan :

Diketahui $y=(2x+1{)}^5(x+1)$.
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
$$\begin{array}{cc}u& =(\underset{p}{\underset{}{2x+1}}{)}^5⟹u^{\prime }=5(2x+1{)}^4\left(\underset{p^{\prime }}{\underset{}{2}}\right)=10(2x+1{)}^4\\ v& =x+1⟹v^{\prime }=1\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =10(2x+1{)}^4(x+1)+(2x+1{)}^5\left(1\right)\\ & =(2x+1{)}^4(10(x+1)+(2x+1))\\ & =(2x+1{)}^4(10x+10+2x+1)\\ & =(2x+1{)}^4(12x+11)\end{array}$
Karena diketahui $y^{\prime }=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(ax+b{)}^4(cx+d)$, maka kita dapatkan $a=2$, $b=1$, $c=12$, dan $d=11$, sehingga $a+b+c+d=2+1+12+11=26$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

Soal Nomor 14
Turunan pertama dari invers fungsi $f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$ adalah $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $-\frac{1}{2}$                  E. $2$
B. $-1$                   D. $\frac{1}{2}$

Pembahasan :

Diketahui $f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$.
Pertama, akan dicari invers fungsi $f\left(x\right)$ terlebih dahulu.
Misalkan $f\left(x\right)=y$.
$\begin{array}{cc}y& =\frac{x-1}{2}\\ 2y& =x-1\\ 2y+1& =x\\ 2y+1& =f^{-1}\left(y\right)\\ 2x+1& =f^{-1}\left(x\right)\end{array}$
Jadi, invers fungsi $f\left(x\right)$ adalah $f^{-1}\left(x\right)=2x+1$.
Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=2$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$

Soal Nomor 15
Jika $P\left(x\right)=\sqrt[3]{3x}$, maka $P\left(x\right)-3x{P}^{\prime }\left(x\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                  C. $2\sqrt[3]{3x}$                 E. $x\sqrt[3]{3x}$
B. $1$                  D. $3\sqrt[3]{3x}$

Pembahasan :

Diketahui $P\left(x\right)=\sqrt[3]{3x}=x^{1/3}$.
Turunan pertama dari $P\left(x\right)$ adalah $P^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{1/3-1}=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}P\left(x\right)-3x{P}^{\prime }\left(x\right)& =\sqrt[3]{3x}-3x\cdot \frac{1}{3})x^{-2/3}\\ & =\sqrt[3]{3x}-x^{-2/3+1}\\ & =\sqrt[3]{3x}-\sqrt[3]{3x}=0\end{array}$
Jadi, hasil dari $P\left(x\right)-3x{P}^{\prime }\left(x\right)=0$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<br>}}}$